Обсуждается применение нескольких способов разложения многочлена на множители. Методы основаны на том факте, что умножение на два или более множителя (т.е. умножение многочлена на самого себя) приводит к экспоненциальному разложению, которое может быть разложено в виде ряда показателей в терминах коэффициентов и корней. Если мы рассматриваем только один фактор за раз, то этот процесс приведет к некоторой форме линейного уравнения для данного многочлена X; однако при одновременном рассмотрении нескольких факторов соответствующие уравнения могут не иметь никакого решения.
Первый метод, рассмотренный здесь, состоит в использовании произведений коэффициентов x1,...xn полиномов X(t), где t=0...T и T - это количество присутствующих факторов. Этот подход широко использовался уже с момента его создания, поскольку он позволяет нам находить решения многих проблем, связанных с теорией многочленов. Однако существуют ситуации, когда этот метод терпит неудачу: i) если матрица коэффициентов не содержит записей, представляющих нулевые значения (например, если корневая система не содержит ненулевых элементов); ii) если коэффициенты не представляют действительные числа; iii) если все коэффициенты являются четными или нечетными целыми числами. В этих случаях произведение коэффициентов всегда приводит к линейному уравнению и не может быть обобщено дальше линейных систем.
Второй метод основан на нахождении наименьшего общего знаменателя среди коэффициентов, такого, чтобы матрица коэффициентов содержала ровно одну запись, представляющую 0. Например, предположим, что A [k] представляет коэффициенты полиномов K-й степени степени k, а N [k] представляет их соответствующие корневые матрицы. Из вышесказанного следует, что A[k]=N[k]. Если M=(M+K)[k], где [k] - константа, то коэффициенты должны удовлетворять следующему неравенству: EQ M=N[k]+a*B[k]-c*F[k]
где [b][k] называется наименьшим общим делителем b и c. Теперь пусть P(X) =G(P). Тогда G(p)=(g)(p)+h[f](p)-q.[r](p):
Если p=1, то q=[r](p)/2. Следовательно, g([r](p))=-h([r](p)/2)]/4. Таким образом, h/(3p) =-h/4(3p+5) ^6+. Поскольку r=(R)*